Construcción de una base ortonormal del espacio vectorial R^3, distinta de la base canónica

Ángulos que forma un vector u, y su proyección sobre el plano Oxy, con los vectores de la base canónica

NOTA: $\vec{u'}$ es el vector proyección de $\vec{u}=(1,2,5)$ sobre el plano Oxy y por tanto sus coordenadas son $(u_x,u_y,0)$, esto es, $\vec{u'}=(1,2,0)$

Espacio vectorial. Cálculo de vectores que cumplen un conjunto de condiciones

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Tres comerciantes adquieren ordenadores de tres modelos distintos, A, B y C, para su posterior venta. El primero invierte 50000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo C; el segundo comerciante invierte 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo C; y, el tercer comerciante invierte 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 20000 euros en la compra de ordenadores del modelo C. Las rentabilidades que obtienen los tres comerciantes tras la venta de los ordenadores que han adquirido son: el primero un 15%, el segundo un 12% y el tercero un 10%. Calcular las rentabilidades de los modelos de ordenador.

SOLUCIÓN.

La rentabilidad se define como la razón entre los beneficios obtenidos y la inversión realizada, expresándose en tanto por ciento.

Denotemos por $-A$, $r_B$ y $r_C$ las rentabilidades correspondientes a los tres modelos de ordenadores, A, B y C. De acuerdo con la información del enunciado y el significado de rentabilidad, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\left.\begin{matrix}50000\,r_A+25000\,r_B+25000\,r_C=\dfrac{15}{100}\cdot ( 50000+25000+25000) \\ 12500\,r_A+25000\,r_B+12500\,r_C=\dfrac{12}{100}\cdot ( 12500+25000+12500)\\ 10000\,r_A+10000\,r_B+20000\,r_C=\dfrac{10}{100}\cdot ( 10000+10000+20000)\end{matrix}\right\}$

que es compatible determinado. Resolviéndolo obtenemos los siguientes resultados: $$\left.\begin{matrix}r_A=23\,\%\\r_B=11\,\%\\ r_C=3\,\%\end{matrix}\right\}$$
$\square$