Dados tres vectores, $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$, distintos los tres del vector nulo, tales que el producto escalar de $\vec{u}$ por $\vec{v}$ es igual al producto escalar de $\vec{u}$ por $\vec{w}$. Vamos a demostrar que la proyección de $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$ es igual a la proyección de $\vec{w}$ sobre $\vec{u}$.
Partiendo de que, según el enunciado, los productos escalares referidos son iguales, podemos escribir:
$\langle \vec{u},\vec{v} \rangle=\langle \vec{u},\vec{w} \rangle \quad \quad (1)$
Dividiendo ambos miembros de $(1)$ por $\left\|\vec{u}\right\|$ se tiene que
$\displaystyle \dfrac{1}{\left\|\vec{u}\right\|}\,\langle \vec{u},\vec{v} \rangle=\dfrac{1}{\left\|\vec{u}\right\|}\,\langle \vec{u},\vec{w} \rangle$
$\displaystyle \langle \dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}\,,\vec{v} \rangle=\langle \dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}\,,\vec{w} \rangle$
Tengamos en cuenta ahora que $\dfrac{\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|}$, vector al que denominaremos $\vec{u_1}$, es un vector unitario (su módulo es igual a la unidad) en la dirección y sentido de $\vec{u}$. Por tanto, podemos escribir:
$\displaystyle \langle \vec{u_1}\,,\vec{v} \rangle=\langle \vec{u_1},\vec{w} \rangle \quad (2)$
Y por la definición de producto escalar euclídeo, el primer miembro de $(2)$ es:
$\langle \vec{u_1}\,,\vec{v} \rangle:=\left\|\vec{u_1}\right\|\cdot \left\|\vec{v}\right\|\cdot \cos(\measuredangle(\vec{u_1},\vec{v}))=1\cdot \left\|\vec{v}\right\|\cdot \cos(\measuredangle(\vec{u_1},\vec{v}))=\left\|\vec{v}\right\|\cdot \cos(\measuredangle(\vec{u_1},\vec{v}))=$
$=\text{longitud de la proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{v})$
y el segundo miembro de $(2)$ es:
$\langle \vec{u_1}\,,\vec{w} \rangle:=\left\|\vec{u_1}\right\|\cdot \left\|\vec{w}\right\|\cdot \cos(\measuredangle(\vec{u_1},\vec{w}))=1\cdot \left\|\vec{v}\right\|\cdot \cos(\measuredangle(\vec{u_1},\vec{w}))=\left\|\vec{w}\right\|\cdot \cos(\measuredangle(\vec{u_1},\vec{w}))=$
$=\text{longitud de la proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{w})$
y al ser iguales sendos miembros, se tiene que:
$$\text{longitud de la proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{v})=\text{longitud de la proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{w})$$
Démonos cuenta, por otra parte, de que los vectores proyección son:
$\overset{\longrightarrow}{\text{proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{v})}=(\text{longitud de la proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{v}))\,\vec{u_1}$
y
$\overset{\longrightarrow}{\text{proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{w})}=(\text{longitud de la proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{w}))\,\vec{u_1}$
Con lo cual, concluimos que dichos vectores proyección son iguales:
$$\overset{\longrightarrow}{\text{proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{v})}=\overset{\longrightarrow}{\text{proyección}_{\vec{u}}\,(\vec{w})}$$
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