ENUNCIADO. Sea el plano $\pi \equiv x+2y+3z-4=0$. Determínense las coordenadas de los puntos de intersección de dicho plano con los ejes de coordenadas $Ox$, $Oy$ y $Oz$, siendo la base de referencia afín $\mathcal{B}=\{O;\vec{i}=(1,0,0)\,,\,\vec{j}=(0,1,0)\,,\,\vec{k}=(0,0,1)\}$. Finalmente, calcúlese el área del triángulo cuyos vértices son dichos puntos.
SOLUCIÓN.
Un vector en la dirección del eje Ox es $\vec{i}=(1,0,0)$, luego dicho eje es la recta cuya ecuación en forma continua es $r\equiv \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{0}=\dfrac{z}{0}$ y, por tanto, sus ecuaciones implícitas son $r\equiv \left\{\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.$ Así pues el punto de intersección del plano con el eje Ox es la solución del sistema de ecuaciones lineales compatible determinado $\left\{\begin{matrix}x+2y+3z=4\\ y=0\\z=0\end{matrix}\right.$ Así pues el punto de intersección del plano con el eje Ox es la solución del sistema de ecuaciones lineales compatible determinado $\left\{\begin{matrix}x=4\\ y=0\\z=0\end{matrix}\right.$, luego el punto de intersección con el eje Ox es $A(4,0,0)$
-oOo-Un vector en la dirección del eje Ox es $\vec{j}=(0,1,0)$, luego dicho eje es la recta cuya ecuación en forma continua es $r\equiv \dfrac{x}{0}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{0}$ y, por tanto, sus ecuaciones implícitas son $r\equiv \left\{\begin{matrix}x=0\\z=0\end{matrix}\right.$ Así pues el punto de intersección del plano con el eje Oy es la solución del sistema de ecuaciones lineales compatible determinado $\left\{\begin{matrix}x+2y+3z=4\\ x=0\\z=0\end{matrix}\right.$ Así pues el punto de intersección del plano con el eje Oy es la solución del sistema de ecuaciones lineales compatible determinado $\left\{\begin{matrix}x=0\\ y=2\\z=0\end{matrix}\right.$, luego el punto de intersección con el eje Oy es $B(0,2,0)$
-oOo-Un vector en la dirección del eje Ox es $\vec{k}=(0,0,1)$, luego dicho eje es la recta cuya ecuación en forma continua es $r\equiv \dfrac{x}{0}=\dfrac{y}{0}=\dfrac{z}{1}$ y, por tanto, sus ecuaciones implícitas son $r\equiv \left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$ Así pues el punto de intersección del plano con el eje Oz es la solución del sistema de ecuaciones lineales compatible determinado $\left\{\begin{matrix}x+2y+3z=4\\ x=0\\y=0\end{matrix}\right.$ Así pues el punto de intersección del plano con el eje Oy es la solución del sistema de ecuaciones lineales compatible determinado $\left\{\begin{matrix}x=0\\ y=0\\z=4/3\end{matrix}\right.$, luego el punto de intersección con el eje Oy es $C(0,0,4/3)$
-oOo-Sabemos que $$\text{Área}=\dfrac{1}{2}\,\left\|\overset{\rightarrow}{AB}\times\overset{\rightarrow}{AC}\right\| \quad \quad (1)$$
Como $A(2,0,0),$, $B(0,4,0)$ y $C(0,04/3)$, tenemos que $\overset{\rightarrow}{AB}=(0-4,2-0,0-0)=(-4,2,0)$ y $\overset{\rightarrow}{AC}=(0-4,0-0,4/3-0)=(-4,0,4/3)$
Entonces,
$\overset{\rightarrow}{AB}\times \overset{\rightarrow}{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&2&0\\-4&0&4/3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&0\\0&4/3\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}-4&0\\-4&4/3\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}-4&2\\-4&0\end{vmatrix}\,\vec{k}=$
$=\dfrac{8}{3}\,\vec{i}+\dfrac{16}{3}\,\vec{j}+8\,\vec{k}$ siendo el módulo $\left\|\overset{\rightarrow}{AB}\times \overset{\rightarrow}{AC}\right\|=\left|\sqrt{(\dfrac{8}{3})^2+(\dfrac{16}{3})^2+8^2}\right|=\dfrac{8}{3}\,\left|\sqrt{14}\right|$
Por tanto $\text{Área}=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{8}{3}\,\left|\sqrt{14}\right|\right)=\dfrac{4}{3}\,\left|\sqrt{14}\right|\,(\text{unidades arbitrarias de longitud})^2$
$\square$
