Rectas paralelas en el espacio

ENUNCIADO. Considérense las rectas $$r \equiv x+2=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z}{2}$$ y $$s \equiv \dfrac{x}{m}=\dfrac{y-1}{n}=z$$ Calcúlense los valores de $m$ y $n$ para que las rectas sean paralelas.

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que podemos expresar con mayor detalle la ecuación en forma continua de $r$ $$r \equiv \dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z}{2}$$ Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,4,2)$; por otra parte, como $$s \equiv \dfrac{x}{m}=\dfrac{y-1}{n}=\dfrac{z}{1}$$ un vector con la dirección de $s$ es $\vec{v}=(m,n,1)$

Sabemos que $r$ y $s$ son paralelas si $\vec{u} \propto \vec{v}$ ( los vectores son dependientes, esto es existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{u} = k\, \vec{v}$ ) $\Leftrightarrow \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$

Imponiendo la condición suficiente, $$\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ m & n & 1\end{vmatrix}=\vec{0}$$ es decir $$\begin{vmatrix}4 & 2 \\ n & 1\end{vmatrix}\,\vec{i} - \begin{vmatrix}2 & 2 \\ m & 1\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}1 & 4 \\ m & n\end{vmatrix}\,\vec{k} = \vec{0}$$ por tanto $$(4-2n)\,\vec{i}-(1-2m)\,\vec{j}+(n-4m)\,\vec{k}=\vec{0}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4-2n=0\\1-2m=0\\n-4m=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n=2 \\ m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$
$\square$