Un ejemplo de cómo sumar una serie infinita de tipo geométrico

ENUNCIADO. Deseamos resolver la siguiente suma infinita $\displaystyle \sum_{t=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{k}{n}\right)^{t}\,(1-p)^{t-1}\,p$

SOLUCIÓN. Démonos cuenta de que se trata de una serie geométrica:
Si vamos dando los primeros valores consecutivos a $t$, nos encontramos que el primer sumando (haciendo $t:=1$) es $\dfrac{k}{n}p$; haciendo $t:=2$, vemos que el segundo sumando es $\left(\dfrac{k}{n}\right)^2\,(1-p)p=\dfrac{kp}{n}\,\dfrac{k(1-p)}{n}$; para $t:=3$, el tercer sumando es $\left(\dfrac{k}{n}\right)^3\,(1-p)^2\,p=\dfrac{kp}{n}\,\left(\dfrac{k(1-p)}{n}\right)^2$, y así sucesivamente, con lo cual inducimos que el $t$-ésimo sumando puede escribirse de la forma $\dfrac{kp}{n}\,\left(\dfrac{k(1-p)}{n}\right)^{t-1}$.

Entonces, aplicando la propiedad distributiva podemos extraer $\dfrac{kp}{n}$ como factor común de todos los sumandos $$\displaystyle \sum_{t=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{k}{n}\right)^{t}\,(1-p)^{t-1}\,p=\sum_{t=1}^{\infty}\,\dfrac{kp}{n}\,\left(\dfrac{k}{n}\right)^{t-1}\,(1-p)^{t-1}=\dfrac{kp}{n}\,\sum_{t=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{k}{n}\,(1-p)\right)^{t-1}$$ con lo cual nos damos cuenta claramente de que el segundo factor es la suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica de primer término $a_1=1$ y cuya razón geométrica es $r=\dfrac{k(1-p)}{n}$. Y como sabemos que, si $r\prec 1$ (lo cual se cumple si $k\le n$), el resultado de la suma de una serie geométrica de infinitos términos genérica converge es igual a $S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$ [recordemos que se llega fácilmente a eso pasando al límite la expresión genérica de la suma de los $t$ primeros términos, $S_t=a_1\,\dfrac{r^t-1}{r-1}$, cuando $t\rightarrow \infty$, siendo $r\prec 1$ (para lo cual es necesario, en nuestro caso, que $\dfrac{k(1-p)}{n}\prec 1$)], luego aplicándolo al caso que nos ocupa llegamos a: $$\displaystyle \sum_{t=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{k}{n}\right)^{t}\,(1-p)^{t-1}\,p=\dfrac{kp}{n}\,\dfrac{1}{1-\dfrac{k(1-p)}{n}}=\dfrac{kp}{n-k(1-p)}$$ $\square$