Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$ encontrar el punto $R$ de la recta $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$ que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Enunciado:
Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
encontrar el punto $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Solución:
Las componentes de un vector director de $r$ - recordemos que las coordenadas de un vector, expresado éste respecto a la base canónica, suelen ser designadas como componentes del mismo - vienen dados por los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta, por tanto
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triángulo $\triangle{PQR}$ es isósceles y los lados iguales son $\overline{PR}$ y $\overline{QR}$ deberá cumplirse
    $\angle ( \vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos \big( \angle ( \vec{u},\vec{RP} ) \big)=-\cos \big ( \angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \big)$
luego, según la definición del producto escalar euclídeo,
    $\dfrac{[\vec{u},\vec{RP}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{[\vec{u},\vec{RQ}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
y como
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podemos escrbir
    $\left \langle \vec{u},\vec{RP} \right \rangle=- \left \langle \vec{u},\vec{RQ} \right \rangle\quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $\left \langle.\;,\;.\right \rangle$ denota el producto escalar usual ( expresando los vectores respecto de la base canónica ), es decir, $\left \langle v,w \right \rangle=v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
de aquí, si $R(x_R,y_R,z_R)$ y teniendo en cuenta los vectores de posición y su relación vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podemos escribir:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
y
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculando, ahora, el valor del producto escalar de ambos miembros de (*), llegamos a:
    $\left \langle\vec{u},\vec{RP} \right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)\right \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\left \langle\vec{u},\vec{RQ}\right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R) \right \rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificiando e igualando las dos expresiones, podemos escribir
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Por otro lado, teniendo en cuenta que $R(x_R,y_R,z_R)$ es un punto de la recta $r$, se cumple la doble igualdad de la ecuación en forma continua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3), encontramos, finalmente, les coordenadas del punto $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

que vamos a reducir por Gauss, procediendo a realizar las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones:

    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obteniendo el sistema equivalente

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

por comodidad, intercambiamos el orden de la segunda y tercera incógnitas:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

y, finalmente, haciendo
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
llegamos al sistema escalonado ( reducido )

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

cuyo número de ecuaciones no identicamente nulas es $3$, luego el número de ecuaciones linealmente independientes es $3$, que coincide con el número de incógnitas, luego, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado ( tiene solución única ), tal como cabía esperar. Veamos cuál es la solución.

De la tercera ecuación se obtiene el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

sustituyendo este valor en la segunda,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

y, a su vez, sustituyendo ambos en la primera ecuación,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Sobre los errores

Desde luego, todos nos equivocamos. Pero, ciertamente, el error, bien empleado, constituye una herramienta de aprendizaje muy valiosa. Las erratas que el lector pudiera encontrar pueden ser debidas a la forma de exposición ( incluyendo los errores tipográficos ), o bien al cálculo.

Cuando, descubro que hay alguna errata en algo que ya había expuesto - esto sucede o bien al hacer las revisiones y actualizaciones de dichos materiales, o bien gracias a la amable colaboración de los alumnos ( que me lo comentan en clase ), o a la de otros usuarios de este sitio ( que me lo comentan por correo electrónico ), a los que les doy las gracias de antemano -, me apresuro a realizar los cambios y correcciones oportunas; sin embargo, a veces pasa algún tiempo hasta que no me doy cuenta, por lo que, de antemano, pido disculpas a los lectores, por si se diera el caso.

[nota del autor]

Sobre los tipos de ejercicios

Los ejercicios que expongo son de diversa índole: a) problemas, que representan el tipo de ejercicio de mayor dificultad, pues trabajar con ellos requiere: comprender la naturaleza de los mismos, elaborar estrategias y enfoques, ser capaces de hacer los cálculos necesarios, y cotejar y analizar los resultados encontrados, teniendo que volver a empezar si algo no funcionara bien al final de dicho proceso; b) tareas rutinarias de cálculo en las cuales se utilizan las diversas técnicas y resultados de la teoría que, por supuesto, es necesario aprender y comprender, pues son indispensables para poder trabajar con los problemas; y, c) cuestiones, en las que intervienen definiciones, y demostraciones de resultados, que solemos emplear en las tareas rutinarias y en los problemas. Todos los ejercicios están resueltos y comentados; a veces, de varias maneras, para que se puedan ver las cosas desde varios enfoques; distintos, pero conducentes a unas mismas conclusiones y resultados y, por ello, enriquecedores.

[nota del autor]

Aprender y ayudar a aprender con las dudas

Con estos materiales espero ayudar resolver las viejas dudas a mis alumnos con mayor eficacia, reforzando, pues, mi labor en el aula; pero, también, deseo que se planteen nuevas preguntas y nuevos retos, para, así, no dejar de aprender; ello, por supuesto, es aplicable a todo en la vida, no sólo al aprendizaje de las matemáticas. Con todo ello yo, por supuesto, también aprendo. A veces, creemos haber "entendido" algo, pero tarde o temprano, barruntado sobre tales cosas, y a raíz de algo que requiera su comprensión, uno descubre que no es así, y, en realidad, se hace evidente que aún faltaban piezas por encajar, por lo que hay que volver sobre nuestros pasos, para poder seguir avanzando. Así, pues, el hecho de aprender es una aventura; esforzada, pero también gratificante desde el punto de vista emocional e intelectual, a la que no se debería renunciar.

[nota del autor]