Conjuntos bien ordenados

Se dice que un conjunto no vacío está bien ordenado si todos sus subconjuntos no vacíos tienen mínimo, esto es: si la mayor de las cotas inferiores ( o ínfimo ) de cada uno de ellos está incluida en el respectivo subconjunto. Esta propiedad de la buena ordenación es muy importante en los números naturales, pues en ella se sustenta el principio de inducción.

En efecto, el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ está bien ordenado. No lo está, sin embargo, el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ y, por consiguiente, tampoco lo está el de los racionales $\mathbb{Q}$ ni el de los reales $\mathbb{R}$.

Para demostrar que el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ está bien ordenado expondré una sencilla y bonita demostración que puede encontrarse en muchos manuales y que contribuye a mostrar la belleza de las matemáticas. Deberemos probar pues que todos los subconjuntos no vacíos del conjunto de los números naturales tienen mínimo.

Sea $(\mathbb{N},\le)$ el conjunto de los números naturales con la relación de orden $\le$.
Sea $A$ un subconjunto no vacío cualquiera de $\mathbb{N}$, entonces cabe hacer distinción entre los siguientes casos:

(a) Si $1 \in A$, hemos terminado ya que cualquier número natural es mayor o igual que $1$, que es el menor número natural y, por tanto, el mínimo de $A$.
(b) Si $1 \notin A$, demostraremos que tiene elemento mínimo, procediendo por el método de contradicción. Sea $B$ el conjunto formado por todos los números naturales estrictamente menores que cualquier elemento de $A$ y partamos de la siguiente hipótesis: la menor de las cotas inferiores de $A$ (que denotamos por $m$) está en $B$. De dicha hipótesis se deduce que $m+1 \in A$. Por otra parte, al ser $m$ estrictamente menor que cualquier elemento $a \in A$, podemos escribir $m+1 \le a$, esto es: $m+1 \in B$, luego $m+1 \notin A$, llegando así a una contradicción y debiendo por tanto negar la hipótesis de partida, luego $m \in A$ y esto ocurre para cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$, luego dicho conjunto posee buena ordenación.   $\square$

[nota del autor]