procesos de demostración ...

[nota del autor]

recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba que ve donada per la funció $f(x)=3\,x^4$, en el punt d'abscissa $x=-1$

Resolució:
Cal trobar els valors dels coeficients $m$ (pendent de la r.t.) i $k$ (ordenada a l'origen) de la r.t. $y=m\,x+k \quad \quad (1)$

El pendent de la r.t. $m$ en el punt d'abscissa $x=-1$ és igual al valor de la derivada de la funció per a aquest valor de la variable independent: $f^{'}(-1)$.

Calculem, per tant, la funció derivada de $f(x)=3\,x^4$, fent ús de les regles de derivació:
    $f^{'}(x)=12\,x^3$
D'aquí, traiem, doncs, el valor de $m$, que és igual a
    $f^{'}(-1)=-12$

Finalment, cal determinar el valor de $k$. Com que $P\big(-1,f(-1)\big)$ és un punt de la r.t. i també de la corba, s'ha de complir que
    $f(-1)=-12\,x+k$
i, donat que, $f(-1)=3$
    $3=-12\cdot (-1)+k$
i, aïllant $k$ d'aquesta equació
    $k=-9$

Finalment, substituint els valors trobats de $k$ i $m$ a l'expressió (1)
$\text{rt:}\,y=-12\,x-9$
$\square$

[nota del autor]